De Volta à Braquistócrona

Para finalizar o problema da braquistócrona consideremos a figura abaixo

Figura 7: Buscando uma equação para o problema.

Como a partícula tem de descrever a trajetória mais rápida e sua velocidade escalar é variável (lembre-se que$v=\sqrt{2gy}$), tudo se passa como no caso do raio de luz que atravessa um meio não-homogêneo. Assim, pela seção anterior, devemos ter

$$\frac{\mathrm{sen}{\theta}}{v}= =c.$$ (5.1)

Como $v=\sqrt{2gy}$ e $y'=\tan{\beta}$, combinando a identidade trigonométrica

$$\mathrm{sen}\theta=\cos\beta=\frac{1}{\sec\beta}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\beta}}$$ com (5.1) obtemos $$\frac{1}{\sqrt{2gy(1+(y')^2)}}=c.$$ Simplificando esta última equação, chegamos a

$$y\left[1+(y')^2\right]=k,$$ (5.2)

onde $k$ é uma constante positiva. Note a semelhança desta equação com (2.5).

Não é nosso propósito resolver a equação acima. Indicamos aos interessados a referência [S, pag. 626,627, vol.1]. A propósito, James Bernoulli mostrou apenas que a curva que solucionaria o problema da braquistócrona deveria satisfazer a equação (5.2) cuja solução já era conhecida naquela época. A solução geral de (5.2) é dada na forma paramétrica por

$$x(u)=a(u-\mathrm{sen}u)\qquad y(u)=a(1-\cos(u)),$$ onde $a$ é uma constante que fica determinada de modo que a curva passe pelo ponto B (veja   figura ).
 
 

A curva dada pelas equações acima representa uma ciclóide que é a mesma curva que se obtém quando um ponto fixado de um círculo de raio $a$ descreve quando este círculo rola sobre uma reta.

Figura 8: A ciclóide.

 

 Clique aqui para gerar uma ciclóide através de um círculo.

Esta curva possui várias propriedades interessantes mas nos restringiremos a uma delas:

O tempo que uma partícula inicialmente em repouso leva para percorrer um arco de ciclóide até o seu vértice mais baixo independe da sua posição inicial. Na verdade, o problema da curva tautócrona, ou seja, de se encontrar uma curva com esta propriedade já havia sido resolvido, o que possibilitou resolver a equação do problema da braquistócrona.

 

 Clique aqui para visualizar o problema da tautócrona.