Esquematizando no plano coordenado, temos:
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Sabemos da Física que quando uma partícula atua sob a ação da gravidade, o trabalho realizado para se deslocar de até um ponto é igual à variação da energia cinética. Assim, denotando por o módulo da velocidade (velocidade escalar) da partícula no ponto por o seu deslocamento vertical e por a sua massa, temos
(2.1) |
Mas, a velocidade escalar é a variação do espaço percorrido -- no esquema acima -- pelo tempo, ou seja,
(2.2) |
O problema se resume a encontrar uma função que minimize o tempo acima e o procedimento usual para a sua resolução é fazer uso do Cálculo Variacional. Mais precisamente, precisamos encontrar uma função que satisfaça
(2.3) |
onde
(2.4) |
Após alguns cálculos, combinando (2.3) e (2.4) o problema se resume a encontrar uma função que satisfaça
(2.5) |
Nós não utilizaremos este método geral para a resolução do problema. A resolução que apresentaremos a seguir segue os passos da resolução apresentada por James Bernoulli. Antes faremos um breve intercurso num problema de Óptica que, embora aparentemente não esteja relacionado ao problema da braquistócrona, se mostrará de grande valia para a sua resolução.