Um Problema de Refração

Consideremos um raio de luz que vai de $A$ a $P$ com velocidade constante igual a $v_1$ e segue de $P$ a $B$ com velocidade constante $v_2.$

Figura 3: refração de um raio de luz

Em geral, as velocidades acima são distintas e dependem do meio em que a luz está se propagando. Por exemplo, quanto mais denso o meio, mais lenta será a sua velocidade. Para fixar as idéias podemos pensar no esquema acima que na parte superior o meio de propagação da luz é o ar e na parte inferior a água. Como a água é mais densa que o ar temos neste exemplo, $v_2<v_1.$ Se denotarmos por $\theta_1$ o ângulo agudo que o segmento $AP$ faz com a vertical e por $\theta_2$ o ângulo agudo que o segmento $BP$ faz com a mesma vertical, é de se esperar que$\theta_2<\theta_1.$ Este fato é uma conseqüência (verifique!) da lei da refração de Snell:

$$\frac{\mathrm{sen}\theta_1}{\mathrm{sen}\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}.$$ (3.1)

Na verdade, a relação que fora descoberta empiricamente por Snell em 1621 é que, fixados os dois meios por onde a luz se propaga, tem-se que ${\mathrm{sen}\theta_1}$ é proporcional a ${\mathrm{sen}\theta_2}$ independentemente do ângulo de incidência do raio.

A primeira prova matemática de (3.1) foi fornecida pelo matemático francês Pierre de Fermat e é baseada no seguinte princípio que leva seu nome:

Princípio do Tempo Mínimo de Fermat A trajetória real percorrida por um raio de luz de $A$ a $B$ é a que minimiza o tempo total de percurso.

Passemos à demonstração de (3.1). Lembrando que 

tempo gasto$$=\frac{\text{espa\c{c}opercorrido}}{\text{velocidade}}$$ e fazendo uso do Teorema de Pitágoras, é fácil ver que o tempo gasto para o raio de luz ir de $A$ até $B$ é dado por $$T(x)=$$tempo gasto de A a P$$+$$tempo gasto de P a B $$=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}{v_2}.$$ Assim, nosso problema está reduzido a achar $x$ que minimize $T(x).$ Note que este problema é bem mais simples do que aquele discutido nas seções anteriores. Agora, se um tal ponto $x$ existir ele deve satisfazer $T'(x)=0.$ Calculando a derivada de $T$ e achando as suas raízes, obtemos $$T'(x)=\frac{1}{v_1}\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{1}{v_2}\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}=0$$

$$\frac{1}{v_1}\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}= \frac{1}{v_2}\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}.$$ (3.2)

Note que o ângulo $\angle QAP=\theta_1$ e, portanto,

$$\mathrm{sen}\theta_1=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}.$$ A partir do triângulo $\bigtriangleup PRB$ obtemos $$\mathrm{sen}\theta_2=\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}.$$ Combinando estes resultados com (3.2) chegamos a $$\frac{1}{v_1}\mathrm{sen}\theta_1=\frac{1}{v_2}\mathrm{sen}\theta_2$$   ou, simplesmente,$$\quad\frac{\mathrm{sen}\theta_1}{\mathrm{sen}\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}$$ que é a relação procurada.