Refração na Atmosfera Terrestre

Embora o princípio do tempo mínimo usado na seção anterior venha ao encontro do problema da braquistócrona ainda não está claro como podemos utilizar a Lei de Snell para resolvê-lo. A dificuldade é que no problema da braquistócrona a velocidade com que a partícula se desloca sobre a curva varia de acordo com a posição em que ela se encontra. Já no caso da refração do raio de luz, a velocidade é constante em cada meio. Para transpor esta dificuldade faremos uso da noção de limite. Como já observamos na seção anterior, a velocidade da luz diminui ao passar de um meio menos denso para um mais denso. Vejamos a próxima ilustração que representa a passagem da luz através de quatro meios distintos dispostos de maneira que as respectivas densidades aumentem conforme descemos.

Figura 4: 4 camadas

Aplicando a Lei de Snell a cada mudança de meio, obtemos $$\frac{\mathrm{sen}{\theta_1}}{v_1}=\frac{\mathrm{sen}{\theta_2}}{v_2}=\frac{\mathrm{sen}{\theta_3}}{v_3}=\frac{\mathrm{sen}{\theta_4}}{v_4}.$$ Fixemos os pontos $A$ e $B$ e passemos a aumentar o número de camadas intermediárias sempre obedecendo ao crescimento da densidade de cima para baixo. Observe que as camadas vão se tornando cada vez mais finas. A figura abaixo ilustra o processo com oito camadas.

Figura 5: 8 camadas

No limite deste processo é de se esperar a trajetória da luz através de um meio cuja densidade aumente continuamente à medida que o raio de luz desça, satisfaça $$\frac{\mathrm{sen}{\theta}}{v}=$$constante$$,$$ onde $\theta$ é o ângulo que a reta tangente à trajetória faz com a perpendicular e $v$ é a velocidade instantânea.

Figura 6: Tangente à curva

A atmosfera terrestre é um exemplo de um meio com densidade variável. Devido à ação da gravidade, o ar é mais denso quanto mais próximo da superfície terrestre ele se encontrar.
 
 

 

A ilustração acima nos dá uma idéia² de onde um objeto no espaço (o sol por exemplo) se encontra e onde o vemos.