Comparando Com Outras Curvas

Nesta última seção faremos uma pequena comparação gráfica do tempo gasto para se ir de $A=(0,0)$ até $B=(\pi,2).$ Note que nos gráficos que seguem a orientação positiva do eixo $y$ é para baixo. As curvas que serão consideradas são (sempre ligando $A$ a $B$):

• a reta $y=\frac{2}{\pi}x,$
• a parábola $y=\frac{2}{\pi^2}x(2\pi-x),$
• a cúbica $y^3=\frac{8}{\pi}x,$
• outra parábola $y^2=\frac{4}{\pi}x$ e
• a ciclóide (braquistócrona) $x(u)= u-\mathrm{sen}u,\quady(u)=1-\cos u.$

Para calcular o tempo gasto no percurso, devemos avaliar a integral (veja (2.2)) $$T(\pi)=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^{\pi}\sqrt\frac{{1+(y')^2}}{{y}}dx$$ para cada uma das curvas acima. Fizemos uso do Notebook do Mathematica Race desenvolvido por Haws e Kiser, (cf. [HK]). Surpreendentemente, a reta, que é a trajetória mais curta, é também a trajetória mais lenta (aproximadamente 18,5%) dentre as curvas consideradas.

Figura 11: Corrida através de diferentes caminhos