Propriedades dos limites

Dependendo do caso, a definição de limite pode ser bem pouco manejável, entretanto nem sempre é necessário recorrer-se a ela para se investigar o limite de uma função. Veremos agora algumas propriedades que tornarão mais simples o estudo dos limites e suas aplicações.

Na seguinte proposição está subentendido que f e g têm o mesmo domínio e que a variável independente x sempre pertence a esse domínio. Adotamos essa prática sempre que necessário para não carregar os enunciados com condições obvias.

Proposição 2.2.1   Suponhamos que $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ e $\lim_{x\to a}g(x)=m$. Então,

1.

$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\ell+m,$

2.

$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\ell m,$

3.

$\lim_{x\to a}f(x)/g(x)=\ell/m,$ se $m\ne0$.

Prova A primeira afirmação não é difícil de se demonstrar. É deixada ao leitor, sendo demonstradas aqui apenas a segunda e a terceira que são um pouco mais elaboradas.

Definamos inicialmente $k=\max\{\vert\ell\vert,\vert m\vert\}$ e suponhamos k>0. Usaremos a identidade

 $$\begin{multline} f(x)g(x)-\ell m =\\ \bigl(f(x)-\ell\bigr)\bigl(g(x)-m\bigr)+\ell\bigl(g(x)-m\bigr)+ m\bigl(f(x)-\ell\bigr). \end{multline}$$

Seja $\varepsilon>0$ dado e tomemos $\delta_1, \delta_2>0$ de modo que

 $$\begin{gather} 0<\vert x-a\vert <\delta_1 \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-... ...d \vert g(x)-m\vert<\min\{\sqrt{\varepsilon/3},\;\varepsilon/3k\} \end{gather}$$

Assim, tomando o módulo em ambos os membros da equaçaõ (2.9), a condição $0<\vert x-a\vert<\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ implica:

 $$\begin{multline} \vert f(x)g(x)-\ell m \vert \le\;\;\;\;\vert f(x)-\ell\vert \... ...rt{\varepsilon/3}+ k\varepsilon/3k+k\varepsilon/3k=\varepsilon. \end{multline}$$

Portanto, o segundo item da proposição fica demonstrado para o caso em que $\ell\ne0$ ou $m\ne0$. O caso em que ambos os limites são nulos deixamos ao leitor como exercício.

Provemos o item 3. É suficiente mostrar que

$$\lim_{x\to a}\bigl(1/g(x)\bigr)=1/m$$

e depois aplicar essa propriedade combinada com o item 2 ao produto $f(x)\bigl(1/g(x)\bigr)$.

Tomando $\varepsilon=\vert m\vert/2$, vem da definição de limite que existe $\delta_1>0$ tal que $0<\vert x-a\vert<\delta_1$ implica |g(x)-m|<|m|/2. Assim, $\vert m\vert-\vert g(x)\vert\le\vert m-g(x)\vert<\vert m\vert/2$, o que implica

|g(x)|>|m|/2.

Assim, dado $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$, que pode ser tomado menor do que $\delta_1$, tal que $0<\vert x-a\vert<\delta$ implica

$$\vert g(x)-m\vert<\vert m\vert^2\varepsilon/2.$$

Portanto, $0<\vert x-a\vert<\delta$ implica

$$\left\vert 1/g(x)-1/m\right\vert=\left\vert(g(x)-m)/mg(x)\right\vert< 2\vert g(x)-m\vert/\vert m\vert^2<\varepsilon.$$

Observação 2.2.1   1) A primeira e a segunda afirmações da Proposição 2.1 se estendem para um número qualquer de parcelas, ou de fatores, respectivamente. Assim, se $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$, segue-se que $\lim_{x\to a}\bigl[f(x)\bigr]^n=\ell^n$.

2) Portanto, se P(x) é um polinômio, segue-se que $\lim_{x\to a}P(x)=P(a)$. De fato, basta notar que a forma geral do polinômio P(x) é dada por $P(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ e que $\lim_{x\to a}x = a$.

3) Se P(x) é um polinômio, uma combinação das propriedades acima com os itens (5) e (6) do Exemplo 2.1.1 nos dá: $\lim_{x\to a}P(\cos x) = P(\cos a)$, $\lim_{x\to a}P(\text{\rm sen}\,x)=P(\text{\rm sen}\,a)$ e $lim_{x\to a}\tan x=\tan a$, se $\cos a\ne0$.

O item (3) do Exemplo 2.1.1 segue da observação acima, não sendo necessário, conforme já tinhamos adiantado na ocasião, o uso direto da definição de limite. O mesmo vale para o item (4) do Exemplo 2.1.1.

A proposição seguinte é muito útil. Traduz um fato inteiramente previsível: se o limite de f em a é um número $\ell\ne0$, então f(x) tem o mesmo sinal de $\ell$ para x próximo, mas distinto, de a. Por essa razão tem o nome que tem.

Teorema 2.2.1 (Teorema da conservação do sinal)   Seja $f:B\to\mathbb R$ uma função tal que $\lim_{x\to a}f(x)=\ell\ne0$. Então, existe uma vizinhança V de a tal que, se $x\in V\cap B\setminus\{a\}$, f(x) tem o sinal de $\ell$.

Prova Tomemos $\varepsilon=\vert\ell\vert/2>0$ e consideremos $\delta>0$ de modo que:

$$0<\vert x-a\vert<\delta\quad \Rightarrow\quad \vert f(x)-\ell\vert <\vert\ell\vert/2,$$

ou, equivalentemente,

$$0<\vert x-a\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \ell-\vert\ell\vert/2 < f(x)<\ell+\vert\ell\vert/2.$$

Logo, se $0<\vert x-a\vert<\delta$, para $\ell>0$ temos $\ell/2<f(x)< 3\ell/2$ e, para $\ell<0$, $3\ell/2<f(x)<\ell/2$.

Exemplo 2.2.1 (1)   O polinômio P(x)=2x³-x⁵+1 é positivo numa vizinhança de x=3/2, pois, de acordo com a Observação 2.2.1,

$$\lim_{x\to3/2}P(x)=P(3/2)=\frac5{32}>0.$$

O Teorema da Conservação do Sinal garante que P(x) tem o sinal de 5/32 numa vizinhança de a=3/2.

(2) O tamanho da vizinhança V, no Teorema da Conservação do Sinal, varia de acordo com cada caso. Assim, se considerarmos as funções f_n(x):=1-n²x², $n=1,2,\ldots$, temos $\lim_{x\to0}f_n(x)=1>0$, para todo $n\ge1$, portanto, existe uma vizinhança $V_{\delta(n)}$ de x=0 onde f_n(x) é positiva. Fazendo o gráfico de f_n, que é uma parábola pelos pontos $(\pm1/n,0)$ e vértice (0,1), vê-se claramente que a maior vizinhança $V_{\delta(n)}$ possível, com centro em 0, onde f_n(x)>0 é $V_{\delta(n)}=(-1/n,1/n)$. Ou seja, quando n cresce, a vizinhança diminui. Veja a Figura 2.4.

 

Figure 2.4: f_n(x)=1-n²x²

(3) Analise o exemplo das funções g_n(x):=1-nx, $n=1,2,\ldots$, em torno do ponto x=0, para reforçar a observação do item (2) acima.

Proposição 2.2.2   Dada uma função $f:B\to\mathbb R$, suponhamos que exista $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$. Então existe uma vizinhança V(a) de a tal que a restrição de f a $V(a)\cap B$ é limitada.

Prova Suponhamos primeiramente $a\notin B$. Sendo $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$, tomemos $\varepsilon=1$. De acordo com a Definição 2.1.1, existe $\delta>0$ de modo que

$$x\in B,\ 0<\vert x-a\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-\ell\vert<1,$$

ou seja, tomando $V(a):=(a-\delta,a+\delta)$,

$$x\in V(a)\cap B\quad\Rightarrow\quad \vert f(x)\vert-\vert\ell\vert\le\vert f(x)-\ell\vert<1,$$

donde, $\vert f(x)\vert<\vert\ell\vert+1$, para todo $x\in V(a)\cap B$. Caso $a\in B$, a mesma argumentação implica $\vert f(x)\vert<\vert\ell\vert+1+\vert f(a)\vert$, para todo $x\in V(a)\cap B$. Portanto, f é limitada em $V(a)\cap B$ em qualquer dos casos considerados

Uma função f que satisfaz as conclusões da Proposição 2.2.2 se diz localmente limitada em a. Uma função que é localmente limitada em cada ponto de um conjunto B se diz localmente limitada em B.

Observação 2.2.2   Obviamente, qualquer função limitada $f:B\to\mathbb R$ é localmente limitada em B. Entretanto, não vale a recíproca desta afirmação pois, pelo que já sabemos, todo polinômio é localmente limitado em $\mathbb R$ (porque?), embora, como ficará claro na Seção 2.3, apenas os polinômios constantes sejam limitados.

A Proposição 2.2.2 pode ser vista como um critério de não existência do limite: se uma função não é localmente limitada num ponto a, então não existe $\lim_{x\to a}f(x)$. Por outro lado, sendo f localmente limitada em a, não se pode dizer que o limite em a existe.

Exemplo 2.2.2 (1)   Não existem os limites $\lim_{x\to0}(1/x)$ e $\lim_{x\to0}(1/x^2)$, pois as funções 1/x e 1/x² não são localmente limitadas em 0. Veja as Figuras 2.5.

 

Figure 2.5: y=1/x    e    y=1/x²

(2) Com o mesmo tipo de argumento conclui-se que as funções $\csc x$ e $\cot x$ não têm limite nos pontos $a=k\pi$, $\pm k=0,1,\ldots$.

(3) A função $f(x)=\text{\rm sen}\,(1/x)$ é localmente limitada em 0 mas, como já vimos anteriormente, não existe $\lim_{x\to0}\text{\rm sen}\,(1/x)$.

Quando uma função f satisfaz $\lim_{x\to a}f(x)=0$, usa-se dizer que f é um infinitésimo em a. A proposição abaixo é enunciada informalmente do seguinte modo: O produto de uma função limitada por um infinitésimo é um infinitésimo.

Proposição 2.2.3   Se f e h são funções definidas em um mesmo domínio, h(x) é limitada (ou apenas localmente limitada em a) e $\lim_{x\to a}f(x)=0$, então $\lim_{x\to a}h(x)f(x)=0$.

Prova Não há perda de generalidade em assumir que h é limitada pois, caso contrário, podemos provar a proposição tomando as restições das funções f e h à interseção do domínio de f e h com uma conveniente vizinhança do ponto a.

Sejam $h,f:A\to\mathbb R$, com $\lim_{x\to a}f(x)=0$, e K>0 um número tal que $h(x)\le K$, para todo $x\in A$. Seja $\varepsilon>0$ qualquer. Tendo em conta que $\lim_{x\to a}f(x)=0$, escolhamos $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ tal que

$$x\in A,\quad 0<\vert x-a\vert<\delta\quad\Rightarrow\quad \vert f(x)\vert<\varepsilon/K.$$

Assim,

$$x\in A,\quad 0<\vert x-a\vert<\delta\quad\Rightarrow\quad \vert h(x)f(x)\vert\le K\vert f(x)\vert<\varepsilon,$$

ou seja, $\lim_{x\to a}h(x)f(x)=0$.

O seguinte exemplo mostra que o cálculo de um limite, aparentemente complicado, pode seguir diretamente da Proposição 2.2.3

Exemplo 2.2.3 (1)   $\lim_{x\to0}x\text{\rm sen} (1/x)=0$, pois este é o limite do produto de uma função limitada, $\text{\rm sen} (1/x)$, por um infinitésimo em 0, f(x)=x. Faça um esboço do gráfico da função $g(x)=x\text{\rm sen}(1/x)$ inspirando-se na Figura 2.3.

(2) $\lim_{x\to0} x^2\sec x\cos^3 (1/x)=0$, pois a função considerada é o produto de uma função localmente limitada em x=0, $h(x)=\sec x\cos^3 (1/x)$, por um infinitésimo em 0, f(x)=x².

É natural esperar-se que valha uma proposição como a seguinte:

Teorema 2.2.2 (Teorema da comparação)   Sejam $f,g:B\to\mathbb R$ funções tais que $f(x)\le g(x)$, $x\in B$. Se existirem os limites $\lim_{x\to a}f(x)$ e $\lim_{x\to a}g(x)$, então

$$\lim_{x\to a}f(x) \le\lim_{x\to a}g(x).$$ (2.3)

Prova Suponhamos temporariamente que $\lim_{x\to a}f(x)>\lim_{x\to a}g(x)$. Então, de acordo com a Proposição 2.1, temos

$$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)- \lim_{x\to a}g(x)>0.$$

Do Teorema da Conservação do Sinal segue que existe uma vizinhança V(a) de a tal que f(x)-g(x)>0, ou seja, f(x)>g(x) em $V(a)\cap A\setminus\{a\}$, contrariando nossas hipóteses.

Exemplo 2.2.4 (1)   $\lim_{x\to2}({\text{\rm sen}}^2\,x+x\cos^2x)\le3.$ De fato, como $x\to2$, podemos nos restringir ao caso x>0, portanto,

$${\text{\rm sen}}^2\,x+x\cos^2x \le 1+x$$

e, como $\lim_{x\to2}(1+x)=3$, nossa afirmação segue do Teorema da Comparação.

(2) Mesmo que se tenha f(x)<g(x), $x\in B$, no Teorema da Comparação, não se pode trocar "$\le$'' por "<'' em (2.4). De fato, se g(x)=x e f(x)=-x, para $x\in B:=(0,1)$, temos f(x)<g(x) e, apesar disso, $\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}g(x)=0$.

(3) Suponhamos que, para uma certa função f, exista

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{1+\vert f(x)\vert}=\ell,$$

então, $\ell\le1$. De fato, como $f(x)/\bigl(1+\vert f(x)\vert\bigr)\le1$, segue do Teorema da Comparação que $\lim_{x\to a}\bigl[f(x)/\bigl(1+\vert f(x)\vert\bigr)\bigr]\le1$.

O teorema abaixo, que também é chamado vulgarmente de Teorema do Sanduíche, é uma consequência do Teorema da Comparação.

Teorema 2.2.3 (Teorema do confronto)   Sejam $f,g,h:B\to\mathbb R$ tais que $f(x)\le g(x)\le h(x)$, $x\in B$, e $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell$. Então

$$\lim_{x\to a}g(x)=\ell.$$

O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h, como mostra a Figura 2.6. Uma observação cuidadosa dessa figura indica que Teorema do Confronto não poderia deixar de valer.

 

Figure 2.6: Teorema do Confronto

Prova Seja $\varepsilon>0$ um número qualquer. Como $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell$, existem $\delta_1, \delta_2>0$ de modo que

$$x\in A,\ 0<\vert x-a\vert<\delta_1\quad\Rightarrow\quad \ell-\varepsilon<f(x)<\ell+\varepsilon,$$

$$x\in A,\ 0<\vert x-a\vert<\delta_2\quad\Rightarrow\quad \ell-\varepsilon<h(x)<\ell+\varepsilon.$$

Logo, se $\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$ e se $x\in A$, a condição $0<\vert x-a\vert<\delta$ implica

$$\ell-\varepsilon<f(x)\le g(x)\le h(x)<\ell+\varepsilon,$$

donde $\vert g(x)-\ell\vert<\varepsilon$, ou seja, $\lim_{x\to a}g(x)=\ell$.

Observação 2.2.3   O item (1) do Exemplo 2.2.3 segue também do Teorema do Confronto. De fato, como $-\vert x\vert\le x\text{\rm sen} (1/x)\le\vert x\vert$ e $\lim_{x\to0}-\vert x\vert=\lim_{x\to0}\vert x\vert=0$, o Teorema do Confronto implica $\lim_{x\to0}x\text{\rm sen} (1/x)=0$.

O Teorema do Confronto tem ainda como consequência o chamado

Primeiro limite fundamental.

$$\lim_{x\to0}\frac{\text{\rm sen}\ x}x=1.$$

Prova Vamos considerar sabido que a área de um setor circular de raio r, determinado por um arco de comprimento s, é sr²/2. A idéia é mostrar que os dois limites laterais em x=0 existem e são ambos iguais a 1. Como a função $(\text{\rm sen}\,x)/x$ é par, basta fazer o caso x>0 (veja o exercício 8).

De acordo com a Figura 2.7 (onde OA é suposto um segmento de comprimento unitário), para $0<x<\pi/2$, podemos escrever S₁<S₂<S₃, onde S₁ é a área do triângulo OAB, S₂ a área do setor circular OAB e S₃ a área do triângulo OAC.

 

Figure: $\triangle\;OAB\subset\text{Setor}\;OAB\subset\triangle\;OAC$

Notando que as alturas dos triângulos OAB e OAC, relativas à base OA, são $\text{\rm sen}\,x$ e $\tan x$, respectivamente, temos:

$$S_1=(\text{\rm sen}\,x)/2,\qquad S_2=x/2,\qquad S_3=(\tan x)/2$$

e, como S₁<S₂<S₃, vem

$$\text{\rm sen}\,x < x < \tan x.$$

Donde, dividindo por $\text{\rm sen}\,x$,

$$1<\frac x{\text{\rm sen}\,x}<\frac1{\cos x}$$

e, tomando os inversos de cada membro,

$$1 > \frac{\text{\rm sen}\,x}x > \cos x.$$

Como $\lim_{x\to0+}\cos x=1$, a conclusão é agora consequência imediata do Teorema do Confronto.

Exemplo 2.2.5 (1)  

$$\ell=\lim_{x\to0}\frac{{\text{\rm sen}}^2 x}{x}=0.$$

De fato, $\ell=\bigl(\lim_{x\to0}\text{\rm sen}\ x\bigr)\bigl(\lim_{x\to0}(\text{\rm sen}\ x)/x\bigr)= 0\cdot1=0.$

(2) $\ell=\lim_{x\to0}\frac{\tan x}x = 1.$ De fato, $\ell=\bigl(\lim_{x\to0}\sec x\bigr) \bigl(\lim_{x\to0}(\text{\rm sen}\ x)/x\bigr)=1\cdot1=1.$

Finalizamos esta Seção apresentando duas proposições relacionadas com raízes n-ésimas e expoentes fracionários que somente serão provadas mais tarde.

Proposição 2.2.4   Se n é um inteiro positivo, então $\lim_{x\to a}\root n\of x =\root n\of a$, sempre que $\root n\of a$ exista em $\mathbb R$.

A prova é uma consequência imediata da Proposição 2.4.4, da Seção 2.4. Na mesma Seção, veja o Exemplo 2.4.3. Na verdade, vale um fato mais geral do que a Proposição 2.2.4:

Proposição 2.2.5   Suponhamos que exista $\root n\of\ell$ em $\mathbb R$. Se $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$, então $\lim_{x\to a}\root n\of{f(x)}= \root n\of\ell$.

A Proposição 2.2.5 é um caso particular da Proposição 2.4.5. Em outras palavras ela diz que os sinais de limite e de radiciação, em geral, podem ser trocados:

$$\lim_{x\to a}\root n\of {f(x)}=\root n\of{\lim_{x\to a}f(x)}.$$

Exemplo 2.2.6 (1)   Se a>0; $m,n=1,2,\ldots$, temos

$$\lim_{x\to a}\left(\root n\of x\right)^m = \lim_{x\to a}\root n\of{x^m} = \root n\of{a^m}=\left(\root n\of a\right)^m$$

ou, em termos de expoentes fracionários

$$\lim_{x\to a}x^{\frac mn}= a^{\frac mn}.$$

A verificação deste fato pode ser feita por uma combinação da Proposição 2.2.5 com as propriedades dos limites. (2)

$$\lim_{x\to 4}\root3\of{3x^2-5x-20}=2.$$

De fato, $\lim_{x\to 4}\root3\of{3x^2-5x-20}= \root3\of{\lim_{x\to4}(3x^2-5x-20)}=\root3\of8=2$.