Limite e Continuidade

Os conceitos de "derivada" e "integral'' são os nossos principais objetos de estudo. Como veremos mais adiante, ambos são formas de limite. Assim, podemos dizer com certeza que o conceito de limite é o mais fundamental do Cálculo.

Antes de entrarmos na definição precisa, vamos fazer algumas considerações intuitivas. Consideremos uma função $f:B\to\mathbb R$, $B\subset\mathbb R$, e um ponto a não necessáriamente pertencente a B. Suponhamos que exista um número $\ell\in\mathbb R$ tal que f(x) se "aproxima'' de $\ell$, quando fazemos x se "aproximar'' de a, com $x\ne a$. Quando isto acontece dizemos que $\ell$ é o limite de f, em a, e escrevemos:

$$\lim_{x\to a} f(x) =\ell,\quad\text{ou:}\quad f(x) \to \ell, \text{ com } x \to a.$$

Note que ao considerar o limite de f em a a, estamos vendo se é possível saber "para onde vai'' f(x), quando x se "aproxima'' de a. Não estamos interessados em quanto vale f(a), nem mesmo em saber se f(a) existe. É por isso que admitimos a possibilidade de f nem estar definida em a. Estando a noção de limite por trás de todos os conceitos importantes do Cálculo e, por conseguinte, de muitos conceitos importantes de outras ciências, não podemos nos conformar com uma noção tão vaga como a que temos até aqui. Não é claro o significado de uma variável "aproximar-se'' de um número fixado. Urge, portanto, que tenhamos uma definição precisa.