Funções

Como temos feito até agora, aqui também supomos alguma familiaridade com o conceito de função. Nosso objetivo principal nesta Seção continua sendo o de uniformizar a linguagem.

Definição 1.2.1   Dados dois conjuntos, $A,B\neq\emptyset$, uma função de A em B, $f:A\to B$, ou simplesmente f, é uma lei que associa a cada elemento $x\in A$, um único elemento $f(x)\in B$.

Algumas notações mais comuns para uma função $f:A\to B$ são as seguintes:

$$y=f(x),\quad x\stackrel{f}{\mapsto}y, \quad f:x\in A\mapsto y\in B, \quad x\in A\;\stackrel{f}{\mapsto}\;y\in B.$$

Exemplo 1.2.1 (1)   Quando A=B, um exemplo simples é $f:A\to A$ tal que f(x)=x, para todo $x\in A$. Esta função é chamada identidade, ou identidade de A, e é usualmente denotada por I ou I_A.

(2) Seja $c\in\mathbb R$ um número fixado. A função $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dada por f(x)=c, para todo $x\in\mathbb R$, é chamada função constante.

(3) Denotaremos sempre com $\mathbb R_+$, o conjunto dos números reais não negativos. Defina $f:\mathbb R\to\mathbb R_+$ por f(x):=x².

(4) $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$, dada por $f(x):=\sqrt x$.

(5) $f:\mathbb R\setminus\{1,-1\}\to\mathbb R$, dada por f(x)= 1/(x²-1).

Os conjuntos A e B são chamados, respectivamente, domínio e contra-domínio de f. Dado um conjunto $D\subset A$, sua imagem por f é o conjunto $f(D)\subset B$ definido por $f(D)= \{y\in B \ \vert\ \ y=f(x),\text{ para algum } x\in A\}$

 

Figure 1.1: y=[x]

Definição 1.2.2   O gráfico de uma função $f:A\to B$, $A,B\subset\mathbb R$, é o subconjunto G(f) de ${\mathbb R}^2$ dado por:

$$G(f)=\{(x,f(x))\in{\mathbb R}^2 \ \vert\ x\in A\}.$$

Se $x\in\mathbb R$, o símbolo [x] indica o maior número inteiro menor ou igual a x. O gráfico da função f(x)=[x] está representado na Figura 1.1.

 

Figure: y=|x|    e    y=c $(\text{constante})$

 

Figure: $y=\text{sen}\,x$

Definição 1.2.3   Quando f(A)=B, a função f se diz sobre, ou sobrejetora. Quando a elementos distintos de A estão associados elementos distintos de B, isto é, $x_1,x_2\in A$, $x_1\neq x_2$ $\Rightarrow$ $f(x_1)\neq f(x_2)$, a função f se diz biunívoca, um-a-um ou injetora. Quando f for biunívoca e sobre, também será chamada bijetora.

Definição 1.2.4   Sejam dados $D\subset A$ e uma função $f:A\to B$. A restrição de f a D é uma função de D em B, denotada por f|_D e definida por

$${f\vert}_D(x):=f(x),\qquad \forall x\in D.$$

Revisitando o Exemplo 1.2.1 observamos: A função identidade é bijetora. No item (2) a função f não é biunívoca nem sobre. No item (3) f é sobrejetora, mas não injetora, enquanto sua restrição ${f\vert}_{[0,\infty)}$ é bijetora. No item (4) f é injetora, mas não sobre. No item (5) f não é nem biunívoca nem sobre.

Definição 1.2.5   Dadas duas funções $f:A\to B$ e $g:B\to C$, fica definida a função composta, $g\circ f:A\to C$, por $(g\circ f)(x):= g\left(f(x)\right)$, para todo $x\in A$.

Note que, de acordo com a Definição 1.2.5, para que a função composta $g\circ f:A\to C$ seja definida é necessário que f(A) esteja contido no domínio B da função g.

  

Figure 1.4: Composição de f e g

Exemplo 1.2.2 (1)   Sejam $f:\mathbb R\to (0,1)$, $g:(0,1)\to(1,\infty)$, tais que f(x):=1/(1+x²) e g(x)=1/x. Então, $(g\circ f)(x)=1+x^2$. Daria para definir $f\circ g$?

(2) Se $f:\mathbb R\to\mathbb R$ e $g:[-1,\infty)\to \mathbb R$ são dadas por f(x)=x²+2x-2 e $g(x)=\sqrt{x+1}$, então a composição $g\circ f$ não pode ser definida porque $f(\mathbb R)=[-3,\infty)$ não está contido no domínio $[-1,\infty)$ de g.

Definição 1.2.6   Uma função $f:A\to B$ é dita invertível se existe uma função $g:B\to A$, denotada por f^-1, de modo que $g\circ f=I_A$ e $f\circ g=I_B$.

Uma consequência importante da Definição 1.2.6 é que uma função f será invertível se, e somente se, f for bijetora.

Exemplo 1.2.3 (1)   Sejam $a\neq0$ e $b\in\mathbb R$ dados. Se f(x)=ax+b, então f é invertível e g=f^-1 é dada por g(x)=(x-b)/a.

(2) Se no item (3) do Exemplo 1.2.1 for considerada a restrição ${f\vert}_{[0,\infty)}$ e no item (4) for tomado $\mathbb R_+$ como contra-domínio de f, teremos dois exemplos de funções invertíveis, sendo cada uma a inversa da outra.

Observação 1.2.1   Para se definir uma função é preciso especificar o domínio, o contra-domínio e uma lei de associação. Entretanto, como o nosso estudo se restringe às funções de subconjuntos da reta na reta (costuma-se dizer: ``funções reais de uma variável real'' ou ``funções de uma variável real a valores reais''), vamos adotar a atitude simplificadora de especificar somente a lei de associação. Desta forma, numa linguagem um tanto imprecisa, diremos comumente: ``função f´´ ou ``função f(x)´´ ou ainda ``função y=f(x)´´. Também usaremos a notação $x\mapsto f(x)$ ou $x\in A\mapsto f(x)\in B$, para uma função $f:A\to B$. A menos de menção explícita em contrário, ficará sempre subentendido que o domínio é o maior subconjunto da reta onde a lei faz sentido, o contra-domínio será sempre $\mathbb R$. Assim, quando considerarmos, por exemplo, a função $f(x)=\sqrt{2-x^2}$, estaremos entendendo que seu domínio é $[-\sqrt2,\sqrt2]$. Para a função g(x)=1/(2x-x³), o domínio será ${\mathbb R}\setminus\{0,\pm\sqrt2\}$.

Definição 1.2.7   Suponhamos que o domínio $A\subset\mathbb R$ de uma função f satisfaça a seguinte condição de simetria: $x\in A \Rightarrow -x\in A$. Então f é dita par, se f(-x)=f(x) para todo $x\in A$, e f é dita ímpar, se f(-x)=-f(x) para todo $x\in A$.

A função seno é ímpar. A função cosseno e a função y=|x| são pares. O leitor deve examinar todos os exemplos anteriores desta seção, procurando classificar as funções como pares ou ímpares, quando isto for possível. Como é o gráfico de uma função par? E o de uma função ímpar? Apresentam eles alguma simetria com relação aos eixos coordenados?

Definição 1.2.8   Dadas duas funções, f e g, com domínios $\mathcal D(f)=\mathcal D(g)=A$, sua soma, f+g, seu produto, fg, e o quociente, f/g, ficam definidos, respectivamente, por:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

(fg)(x)=f(x)g(x),

para todo x em A, e

$$\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$$

para todo x em A tal que $g(x)\neq 0$.

Assim, por exemplo, se $f(x)=\cos x$ e g(x)=x, tem-se $(f+g)(x)= \cos x + x$, $(fg)(x)=x\cos x$ e $(f/g)(x)=(\cos x)/x$.

Definição 1.2.9   Uma função f é dita monotônica, ou monótona, se puder ser classificada como crescente, estritamente crescente, decrescente ou estritamente decrescente, segundo as definições abaixo:

• Crescente, se: $\qquad x< y \quad \Rightarrow\quad f(x)\leq f(y)$.
• Estritamente crescente, se: $\qquad x<y\quad \Rightarrow\quad f(x)<f(y)$.
• Decrescente, se: $\qquad x<y\quad \Rightarrow\quad f(x)\ge f(y)$.
• Estritamente decrescente, se: $\qquad x<y\quad \Rightarrow\quad f(x)>f(y)$.

Reportando-nos ao Exemplo 1.2.1, vemos que a função do item (2) é crescente e decrescente a um só tempo. No item (3) a função ${f\vert}_{[0,\infty)}$ é estritamente crescente. A função do item (4) é estritamente crescente. No item (5) a função ${f\vert}_{[1,\infty)}$ é estritamente decrescente. As funções seno e cosseno não são monotônicas.

Definição 1.2.10   Uma função $f:A\to \mathbb R$ se diz limitada se o conjunto f(A) for limitado ou, equivalentemente, se existirem números $\ell$ e L tais que $\ell\leq f(x)\leq L$. Neste caso, $\ell$ é chamado um limitante inferior, ou cota inferior, de f e L, um limitante superior, ou cota superior.

Definição 1.2.11   Se L for o menor limitante superior de f, isto é, $L=\sup f(A)$, então L é chamado supremo da função f e denotado por $\sup f$, ou $\sup_{x\in A}f(x)$. Se existir $x_0\in A$ de modo que L=f(x₀), isto é, $L=\max f(A)$, então diz-se que L é o máximo de f e escreve-se $L=\max f$, ou $L=\max_{x\in A}f(x)$. Se $L=f(x_0)=\max A$, então f(x₀) é chamado valor máximo de f e x₀ é chamado ponto de máximo.

Definem-se analogamente o ínfimo e o mínimo de uma função, bem como valor mínimo e ponto de mínimo. Observe que também poderíamos definir $\inf f$ e $\min f$ pelas relações

$$\inf f:=-\sup(-f) \qquad \min f:=-\max(-f).$$

Exemplo 1.2.4 (1)   A função $f(x)=\cos x$ é uma função limitada, com valores de máximo e de mínimo $1=\max_{-\infty<x<\infty} f(x)$ e $-1=\min_{-\infty<x<\infty} f(x)$, respectivamente. Os números $x_k = 2k\pi, \pm k=0,1,\ldots$, são os pontos de máximo. Quais são os pontos de mínimo?

(2) A função $f(x)=\arctan x$ é uma função limitada, uma vez que $\pi/2 =\sup_{-\infty<x<\infty} f(x)$, $-\pi/2=\inf_{-\infty<x<\infty} f(x)$ (uma vez que usualmente se toma $\arctan$ como a inversa da função $\tan$ restrita ao intervalo $(-\pi/2,\,\pi/2)$). Mas não exitem máximo nem mínimo de f.

(3) f(x)= 1/x não é limitada, mas podemos escrever $\sup_{x<0}f(x)=0=\inf_{x>0}f(x)$.

(4) f(x)=x² não é limitada, mas é limitada inferiormente com valor de mínimo $0=\min_{-\infty<x<\infty} f(x)$.

(5) A função $\left(\vert x\vert-1\right)/\vert x\vert$ é limitada superiormente e $\sup\left(\vert x\vert-1\right)/\vert x\vert=1$. Mas não existe o máximo.