Limites no infinito e limites infinitos

A função f(x)=1/x², considerada no item (1) do Exemplo 2.2.2, cujo gráfico é esboçado numa das Figura 2.5, mostra uma situação em que não existe o limite. De fato, os valores f(x)=1/x² ficam arbitrariamente grandes tomando-se x mais e mais próximo de 0. Assim, f não é localmente limitada em 0.

Embora não exista o limite de f em 0 - e isto deve ficar claro, pois não existe um número $\ell\in\mathbb R$ nas condições da Definição 2.1.1 - ainda assim se escreve

$$\lim_{x\to0}(1/x^2)=\infty.$$

Diz-se que o limite de 1/x² em 0 é infinito.

Nas aplicações, f(x) representa em geral uma grandeza física ou biológica ou econômica etc, que desempenha algum papel em alguma situação real. Nesses casos, pode ser importante detectar pontos a, onde a função f(x) tem um comportamento como o de 1/x² em x=0. Sejamos, portanto, mais precisos:

Definição 2.3.1   Seja a um ponto de acumulação de $B\subset\mathbb R$ e seja $f:B\to\mathbb R$. Diz-se que o limite de f em a é infinito, e denota-se $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ se, dado um número K>0 qualquer, existe um número $\delta=\delta(K)>0$ de modo que

$$0<\vert x-a\vert<\delta \qquad \Rightarrow \qquad f(x)\ge K.$$

A definição acima está dizendo que se $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$, não importa quão grande seja um número K, é sempre possível obter $f(x)\ge K$, para $x\in V_\delta(a)\cap B\setminus\{a\}$, tomando-se $\delta$ suficientemente pequeno. Tipicamente, uma função que satisfaz a Definição 2.3.1 tem um gráfico com o aspecto do de y=1/x² dado nas Figuras 2.5 (examine os gráficos das funções dos itens (2) e (3) do Exemplo 2.3.1 para convencer-se de que esta afirmação tem de ser interpretada com muita flexibilidade). Se uma função f satisfaz Definição 2.3.1, diz-se que o gráfico de f tem uma assíntota vertical em a. A reta x=a é essa assíntota.

Exemplo 2.3.1 (1)   Se f(x)=1/|x-a|, então $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$.

(2) Se, como de costume, [x] denota a parte inteira de x, e

$$f(x)=\left\vert\left[1/x\right]\right\vert,$$

então $\lim_{x\to0}f(x)=\infty$.

(3) Se $f(x)=1/x^2+\text{\rm sen}\,(1/x)$, então $\lim_{x\to0}f(x)=\infty$.

A verificação dos itens (1)-(3) do Exemplo 2.3.1 fica a cargo do leitor, que deve também fazer um esboço do gráfico das funções ali consideradas.

A proposição abaixo estabelece um fato com que todos nós provavelmente já nos deparamos em alguma investigação intuitiva.

Proposição 2.3.1   Se $\lim_{x\to a}f(x)=\ell\in\mathbb R$, $\ell>0$, e g(x)>0 é tal que $\lim_{x\to a}g(x)=0$, então $\lim_{x\to a}\left(f(x)/g(x)\right)=\infty$.

Prova Seja K>0 um número dado. De acordo com a Definição 2.3.1, precisamos mostrar que existe $\delta=\delta(K)>0$ de modo que, se $0<\vert x-a\vert<\delta$, então $\left(f(x)/g(x)\right)>K$. Como nossas hipóteses e as propriedades apresentadas na seção anterior implicam $\lim_{x\to a} \left(g(x)/f(x)\right)=0$, podemos tomar $\varepsilon=1/K>0$ e apelar para a Definição 2.1.1 para assegurar que existe $\delta>0$ de modo que

$$0<\vert x-a\vert<\delta\quad\Rightarrow\quad \left\vert g(x)/f(x)\right\vert<\varepsilon$$

mas, de acordo com a escolha de $\varepsilon$ e observando que f(x) e g(x) podem ser considerados positivos (tomando $\delta$ menor, se necessário), a última desigualdade é equivalente a f(x)/g(x)>K.

Exemplo 2.3.2   $\lim_{x\to\pi}\vert\cot x\vert=\infty$.

Considerando a função -1/|x| e o limite, quando x tende a 0, o leitor verá que neste caso o limite também não existe, mas é natural escrever $\lim_{x\to0}\,-1/\vert x\vert=-\infty$. Fica a seu cargo definir a expressão

$$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$$

por analogia à Definição 2.3.1. Depois disso é muito fácil criar exemplos de diferentes funções f tais que $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$. Neste caso também o gráfico de f tem uma assíntota vertical em x=a.

Se considerarmos agora a função f(x)=1/x do item (1) do Exemplo 2.2.2, cujo gráfico é esboçado na Figura 2.5, teremos uma boa motivação para definir o significado de serem $\pm\infty$ os limites laterais de f em a. Ou seja, é agora natural definir a expressão abaixo para todas as combinações de $\pm$:

$$\lim_{x\to a\pm}f(x)=\pm\infty.$$

Não o faremos aqui por se tratar meramente de um trabalho mecânico.

 

Figure: $\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell$

Se considerarmos a função f(x)=1/x e calcularmos f(x) para valores cada vez maiores de x, verificaremos que f(x) se torna arbitrariamente próximo de 0. Esta situação é denotada por

$$\lim_{x\to\infty}(1/x)=0$$

e inspira a seguinte definição:

Definição 2.3.2   Suponhamos que $A\subset\mathbb R$ tenha interseção não vazia com intervalos da forma $[r,\infty)$ e consideremos uma função $f:A\to \mathbb R$. Diz-se que o limite de f no infinito é $\ell\in\mathbb R$, e se escreve

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\ell,$$

se, dado um número $\varepsilon>0$ qualquer, existe um número $K=K(\varepsilon)>0$ de modo que

$$x\in A,\;x\ge K \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-\ell\vert< \varepsilon.$$

A Definição 2.3.2 significa que, se considerarmos no plano xy uma faixa: $\ell-\varepsilon<y<\ell+\varepsilon$, não importa quão estreita ela seja, existe um número K>0 de modo que, para $x\in(K,\infty)$, o gráfico de f fica dentro dessa faixa. Veja a Figura 2.8. Dizemos neste caso que a reta $y=\ell$ é uma assíntota horizontal em $\infty$ do gráfico de f, ou da função f.

Observação 2.3.1   Quando, como na Definição 2.3.2, um conjunto $A\subset\mathbb R^*$ tem interseção não vazia com qualquer intervalo da forma $[r,\infty)$, é costume dizer-se que $\infty$ é ponto de acumulação de A.

Exemplo 2.3.3 (1)   Se f(x)= x/(1+x), então $\lim_{x\to\infty}f(x)=1$.

(2) $\lim_{x\to\infty}(1/x)\text{\rm sen}\,x = 0$.

O leitor pode justificar os itens do exemplo acima, apelando para a Definição 2.3.2, e esboçar o gráfico das funções em questão para $0<x<\infty$. Dividir o numerador e o denominador por x facilita no caso do item (1).

Se considerarmos f(x)=x², ou f(x)=x, observamos que f(x) pode ser feito arbitrariamente grande tomando-se x suficientemente grande. Esse comportamento se denota por

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$$

e é estabelecido na seguinte definição:

Definição 2.3.3   Suponhamos que $A\subset\mathbb R$ contenha um intervalo da forma $[r,\infty)$ e consideremos uma função $f:A\to \mathbb R$. Escreve-se $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ se, dado um núnero L>0 qualquer, existe K=K(L)>0 de modo que

$$x\ge K\quad \Rightarrow \quad f(x) \ge L.$$

Com alguma paciência, o leitor poderá considerar todas as combinações possíveis dos sinais $\pm$ e seguir os mesmos passos da Definição 2.3.3, para então definir o significado de

$$\lim_{x\to\pm\infty}=\pm\infty.$$

Todas as proposições relativas a limites podem ser reformuladas com adaptações óbvias para limites no infinito, com $\pm\infty$ no papel do ponto a.

Proposição 2.3.2   Suponhamos que as seguintes condições estejam satisfeitas: $a\in\mathbb R$ ou $a=\pm\infty$, $\lim_{x\to a}f(x)=\ell\in\mathbb R$ e $\lim_{x\to a}g(x)= \pm\infty$. Então $\lim_{x\to a}\left(f(x)/g(x)\right)=0.$

Prova Seja $\varepsilon>0$ dado e consideremos $a\in\mathbb R$. A prova para os casos $a=\pm\infty$ é inteiramente análoga. Suponhamos $\ell\ne0$.

Tomando $\varepsilon=\vert\ell\vert/2$, a definição de limite implica que existe $\delta>0$ tal que

$$0<\vert x-a\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad -\vert\ell\vert/2< f(x)-\ell<\vert\ell\vert/2.$$

Portanto, uma simples discussão sobre o sinal de $\ell$ leva a

$$0<\vert x-a\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)\vert<3\vert\ell\vert/2.$$ (2.4)

Como $\lim_{x\to a}\vert g(x)\vert=\infty$, tomando $\delta$ menor, se necessário, podemos assegurar que

$$0<\vert x-a\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \vert g(x)\vert>3\vert\ell\vert/(2\varepsilon).$$ (2.5)

Combinando (2.14) e (2.15), temos finalmente

$$0<\vert x-a\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \left\vert\frac{f(x)}{g(x)}\right\vert<\varepsilon,$$

o que completa a prova no caso $\ell\ne0$.

Se $\ell=0$ a prova é muito fácil e não faremos. A proposição a seguir, cuja prova é deixada como exercício, estabelece propriedades dos limites infinitos análogas às da Proposição 2.2.1.

Proposição 2.3.3 (a)   Se $\lim_{x\to a}f(x)=\ell\in\mathbb R$ e $\lim_{x\to a}g(x)= \pm\infty$, então

$$\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\pm\infty.$$

(b) Se $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ e $\lim_{x\to a}g(x)= \pm\infty$, então

$$\begin{align*}\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) &=\pm\infty \\ \lim_{x\to a}f(x)g(x) &=\infty. \end{align*}$$

(c) Se $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ e $\lim_{x\to a}g(x)\mp\infty$, então

$$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=-\infty.$$

(d) Seja $\ell>0$ um número. Se $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\ell$ e $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$, então

$$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\pm\infty.$$

Substituindo-se o ponto a por $\pm\infty$, a proposição acima continua valendo.

Exemplo 2.3.4 (1)   Se $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ é um polinômio, $n\ge1$, a₀>0, então $\lim_{x\to\infty}P(x)=\infty$. De fato, podemos escrever

$$P(x)=x^n\left(a_0+\frac{a_1}x+\cdots+\frac{a_n}{x^n}\right)$$ (2.6)

e a afirmação segue agora da Proposição 2.3.3(d).

(2) $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-2x-4}=3/2.$ De fato, como estamos interessados em valores da variável x tais que |x| seja grande, portanto $x\ne0$, podemos dividir o numerador e o denominador por x², aplicar diversas propriedades que já conhecemos e escrever:

$$\begin{align}\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-2x-4} &= \lim_{x\to\pm\infty}\frac{3+(1/x^2)}{2-(2/x)-(4/x^2)} \\ &= \frac{3+0}{2-0-0}=3/2. \end{align}$$

A interpretação geométrica deste fato é que a reta horizontal y=3/2 é uma assíntota do gráfico da função f(x)=(3x²+1)/(2x²-2x-4). A Figura 2.9 é um esboço do gráfico de f.

 

Figure 2.9: f(x)=(3x²+1)/(2x²-2x-40)

(3) Uma assíntota horizontal do gráfico da função $f(x)=\frac{2x^2-x+1}{x^3-4}$ é a reta y=0. De fato, basta verificar que $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$, dividindo o numerador e o denominador por x³, e procedendo como no item 2), acima.

Conhecer as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de uma função é um valioso recurso para estudar esse gráfico, como se nota no item (2) do Exemplo 2.3.4. Quando estudarmos as derivadas, um pouco mais adiante, possuiremos outros recursos que, aliados a este, nos permitirão traçar esboços melhores.

Antes de resolver os exercícios a seguir, chamamos a atenção para um procedimento que já foi utilizado anteriormente: Para facilitar o cálculo do limite do quociente de dois polinômios em x, quando $x\to\infty$, é geralmente útil dividir o numerador e o denominador por xⁿ, onde n é o grau do polinômio de maior grau. Este recurso também pode ser útil em alguns casos de quocientes envolvendo radiciação de polinômios.